Une échelle, un mur et le sol dessinent un triangle. Si le mur est bien perpendiculaire au sol, deux longueurs suffisent pour trouver la troisième.
Deux mots pour commencer
- Angle droit
- Un coin de 90°, comme celui d’une feuille.
- Hypoténuse
- Le côté en face de l’angle droit. C’est le plus long.
UN EXEMPLE, PAS À PAS
On le fait ensemble.
On repère les deux petits côtés
Le pied de l’échelle est à 3 m du mur. Le haut touche le mur à 4 m de hauteur.
a = 3 ; b = 4On calcule les carrés, puis leur somme
Mettre au carré signifie multiplier un nombre par lui-même.
3² + 4² = 9 + 16 = 25On cherche le nombre dont le carré vaut 25
5 × 5 vaut 25. L’échelle mesure donc 5 m.
√25 = 5 m
À QUOI ÇA SERT, CONCRÈTEMENT ?
Est-ce que ce meuble passera ?
Imaginez une plaque rectangulaire de 60 cm sur 80 cm. Pour connaître sa diagonale, tracez mentalement le triangle rectangle formé par deux côtés et cette diagonale. Le calcul donne 100 cm. Ce résultat aide à comparer des dimensions, mais le passage réel d’un meuble dépend aussi de son épaisseur et de l’espace pour le tourner.
La relation fonctionne aussi à l’envers. Si les trois côtés d’un triangle mesurent 5, 12 et 13, alors 5² + 12² = 13². Le triangle est donc rectangle. On peut vérifier un angle avec des longueurs au lieu de mesurer directement cet angle.
Vous avez l’idée ?
Un triangle rectangle a deux petits côtés de 6 et 8 cm. Quel est le troisième côté ?
Voir la réponse expliquée
6² + 8² = 36 + 64 = 100. La racine carrée de 100 vaut 10 : le côté mesure 10 cm.
Pour aller un peu plus loin
Dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Ce plus grand côté, face à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.
Une histoire d’aires
Construisez un carré sur chacun des trois côtés. Les aires des deux petits carrés s’additionnent pour donner l’aire du grand. C’est une relation entre surfaces qui permet de calculer une longueur.
Une condition essentielle
La formule s’applique à un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, il faut une relation plus générale qui tient compte de l’angle.
Un rectangle de côtés 3 et 4 a une diagonale √(3² + 4²) = √25 = 5.
SOURCES & LECTURES POUR APPROFONDIR
Wolfram MathWorld · approfondir (en anglais)