Imaginez une ficelle enroulée autour d’une assiette. Si vous la déroulez, quelle longueur obtenez-vous ? π nous aide à le savoir sans mesurer tout le tour. Ce premier exemple ouvre ensuite la porte aux volumes, aux mouvements et à une longue histoire de découvertes.
Deux mots pour commencer
- Diamètre
- La largeur du cercle, en passant par son centre.
- Circonférence
- Le nom mathématique du tour du cercle.
UN EXEMPLE, PAS À PAS
On le fait ensemble.
On mesure la largeur
Notre assiette a un diamètre de 10 cm. Son rayon, du centre au bord, mesure donc 5 cm.
diamètre = 10 cmOn fait un peu plus de trois fois cette largeur
Le tour vaut π fois le diamètre. Pour un calcul approché, on remplace π par 3,14.
3,14 × 10 = 31,4On remet l’unité
Il faut environ 31,4 cm de ficelle. Ce n’est pas une surface : le résultat reste en centimètres.
tour ≈ 31,4 cm
DES LONGUEURS AUX VOLUMES
Une roue, une pizza, une planète.
Le cercle est une porte d’entrée. π intervient aussi en trois dimensions. Pour choisir la formule, demandez-vous ce que vous cherchez : un tour, une surface ou un volume ? Le rayon r relie toujours le centre au bord. Pour un cylindre, h désigne sa hauteur.
C = 2πrUne roue de rayon 5 cm parcourt 10π cm par tour sans glisser : environ 31,42 cm.
A = πr²Une pizza de rayon 10 cm couvre 100π cm² : environ 314,16 cm². Doubler son rayon multiplie sa surface par quatre.
V = (4/3)πr³Une boule de rayon 3 cm occupe 36π cm³ : environ 113,10 cm³. Si le rayon double, le volume est multiplié par huit.
V = πr²hUne boîte de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm contient 90π cm³ : environ 282,74 cm³, soit autant de millilitres.
En sciences spatiales, ces relations aident par exemple à comparer le volume et la masse d’une planète pour estimer sa densité moyenne, en l’approchant par une boule. Les modèles réels demandent ensuite d’autres mesures et corrections.
ET QUAND ÇA BOUGE ?
Le nombre des tours… et des retours.
Suivez un point sur une roue qui tourne régulièrement. Vu de côté, sa hauteur monte et descend. Le sinus et le cosinus décrivent ce mouvement périodique. Un tour vaut 2π radians : π sert donc aussi à mesurer des angles, pas seulement des longueurs.
Pour un mouvement qui se répète une fois par seconde, une formule possible est y = sin(2πt), avec le temps t en secondes et l’angle en radians. Après une seconde, l’angle a avancé de 2π : le mouvement recommence. Le même langage mathématique sert à modéliser des oscillations.
sin(2π × 0,25) = 1Un quart de seconde représente un quart de tour. Le point atteint ici sa hauteur maximale. À une demi-seconde, sin(π) vaut mathématiquement 0 ; une machine peut afficher un minuscule résidu d’arrondi.Un cercle visible n’est pas nécessaire : π apparaît aussi dans des résultats d’analyse et de probabilités. Cela ne prouve pas qu’un cercle physique se cache dans chaque phénomène.
Comprendre DEG, RAD, sin et cos dans le manuelUNE LONGUE HISTOIRE DE PRÉCISION
Bien avant les calculatrices.
- Antiquité · mesurer et encadrer
Des traditions mathématiques anciennes cherchent déjà à approcher le rapport du cercle. Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède l’encadre avec des polygones inscrits et circonscrits : 223/71 < π < 22/7.
- Ve siècle · une fraction remarquable
Zu Chongzhi obtient notamment 355/113, une approximation beaucoup plus précise que 22/7. Une fraction peut approcher π de très près sans lui être égale.
- 1706 · un nom qui s’installe
William Jones emploie π dans son sens actuel. Euler contribue ensuite à populariser cette notation au XVIIIe siècle.
- Une précision qui progresse
Les séries, puis les ordinateurs, permettent de calculer toujours plus de décimales. Le nombre lui-même ne change pas : c’est notre connaissance de son écriture qui s’affine.
LE PETIT ATELIER
Retrouver π avec une ficelle.
Prenez un objet circulaire, une ficelle et une règle. Mesurez le tour avec la ficelle, puis le diamètre en passant par le centre. Divisez le tour par le diamètre. Avec 31,4 cm et 10 cm, vous trouvez 3,14. Recommencez avec un objet d’une autre taille : le rapport doit rester voisin.
Les petites différences viennent des mesures, de l’épaisseur de la ficelle ou d’un objet imparfaitement rond. L’expérience donne une approximation ; elle n’est pas une preuve que π vaut exactement 3,14.
Pourquoi tant de décimales ?
π est irrationnel : aucune fraction de deux entiers ne le représente exactement. Son écriture décimale ne s’arrête pas et ne devient pas périodique. Cela ne veut pas dire que π est infini : c’est un nombre fini, entre 3 et 4. Pour un bricolage, quelques décimales suffisent souvent ; dans un calcul, garder la touche π jusqu’au résultat évite d’arrondir trop tôt.
À emporter : π relie les formes rondes, les volumes et les phénomènes qui se répètent. La bonne formule dépend de ce que vous mesurez.
Vous avez l’idée ?
Une autre assiette a un diamètre de 20 cm. Son tour est-il deux fois ou quatre fois plus grand ?
Voir la réponse expliquée
Deux fois : environ 62,8 cm. Le diamètre double, donc le tour double aussi. C’est la surface du disque qui serait multipliée par quatre.
Pour aller un peu plus loin
Prenez un cercle, petit ou grand. Divisez son tour par son diamètre : vous retrouvez toujours le même nombre, π. Ce rapport vaut environ 3,14159.
Le cercle change, le rapport reste
Doubler le rayon double le diamètre et la circonférence. Leur rapport reste inchangé. En revanche, l’aire du disque est multipliée par quatre : elle vaut πr².
Au-delà des cercles
Les rotations et les phénomènes périodiques font souvent apparaître π. On le retrouve aussi dans la formule de la courbe normale en statistiques. Une présence inattendue ne signifie pas que toutes les données cachent un cercle !
Une roue de rayon 10 cm parcourt 20π cm en un tour sans glissement, soit environ 62,83 cm.
SOURCES & LECTURES POUR APPROFONDIR
Wolfram MathWorld · approfondir (en anglais)Université de St Andrews · l’histoire de π (anglais)NASA / JPL · π dans les sciences spatiales (anglais)OpenStax · le cercle, le sinus et le cosinus (anglais)