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Le nombre d’or n’est ni une mesure de beauté ni un code secret de la nature. C’est d’abord une réponse précise à un problème de partage : comment couper une longueur pour que le rapport entre le tout et la grande partie soit identique au rapport entre la grande et la petite partie ? Cette condition suffit à faire apparaître un nombre remarquable.
Les étapes de cette explication
Un rapport ne dépend pas de l’unité
Une longueur de 16 cm comparée à une longueur de 10 cm donne le rapport 16/10 = 1,6. En millimètres, on aurait 160/100 = 1,6 : l’unité se simplifie. Un rapport compare des tailles, indépendamment de l’échelle. Deux rectangles peuvent ainsi avoir les mêmes proportions tout en occupant des surfaces très différentes.
Pour le partage doré, appelons a la grande partie et b la petite, avec a > b > 0. La longueur totale est a + b. On impose (a + b)/a = a/b. Le tout joue le même rôle vis-à-vis de la grande partie que la grande vis-à-vis de la petite. Cette répétition de proportion est la propriété essentielle.
Faire naître la formule, étape par étape
Posons x = a/b. Comme a est plus grand que b, x est supérieur à 1. Le rapport (a + b)/a se décompose en a/a + b/a, soit 1 + 1/x. Notre condition devient x = 1 + 1/x. Multiplier par x est autorisé puisqu’il est positif ; on obtient x² = x + 1.
L’équation x² − x − 1 = 0 a deux solutions : (1 + √5)/2 et (1 − √5)/2. La seconde est négative et ne correspond pas à un rapport de longueurs positives. La première est le nombre d’or, noté φ, lettre grecque prononcée « phi ». Il vaut environ 1,618033989, mais la formule avec √5 en donne la valeur exacte.
Partager réellement une longueur
Pour partager une baguette de 100 cm selon cette proportion, la grande partie vaut 100/φ, environ 61,803 cm. La petite vaut le reste, environ 38,197 cm. On retrouve 100/61,803 ≈ 1,618 et 61,803/38,197 ≈ 1,618. Avec les valeurs arrondies, les quotients peuvent différer légèrement : c’est l’effet normal de l’arrondi.
Il ne faut pas confondre « multiplier par φ » et « prendre la grande partie d’un tout ». Multiplier 100 par φ donnerait environ 161,8, donc une longueur supérieure à l’ensemble disponible. Le premier geste consiste à identifier ce que représente 100 : le tout, la grande partie ou la petite. Une formule correcte appliquée à la mauvaise quantité reste une erreur.
Le rectangle qui survit au retrait d’un carré
Prenons un rectangle de hauteur 1 et de largeur φ. En retirant un carré de côté 1, il reste un rectangle de côtés 1 et φ − 1. Son grand côté divisé par son petit vaut 1/(φ − 1), ce qui égale φ. Après rotation, le petit rectangle a donc exactement les proportions du premier.
Cette autosimilarité permet de répéter la construction indéfiniment dans le modèle idéal. Elle ne signifie pas que l’aire reste identique : chaque rectangle devient plus petit. Un motif peut conserver sa forme et changer d’échelle. En dessin ou en mise en page, cette propriété fournit un système cohérent de dimensions imbriquées, parmi d’autres systèmes possibles.
Le lien avec Fibonacci est démontrable
Dans la suite de Fibonacci, chaque terme additionne les deux précédents. Pour deux termes consécutifs, le rapport suivant vaut donc 1 plus l’inverse du rapport actuel. C’est justement l’opération x → 1 + 1/x, dont φ est le point fixe positif. Les rapports 13/8, 21/13, 34/21 et 144/89 se rapprochent ainsi de φ.
Un point fixe est une valeur qui reste inchangée lorsqu’on lui applique une transformation. Ce mot décrit une propriété mathématique, sans idée de mouvement physique. Pour φ, calculer 1 + 1/φ redonne φ. Les fractions de Fibonacci ne deviennent jamais exactement φ : elles l’approchent. Cette distinction entre une limite et ses approximations revient dans toute l’analyse mathématique.
Pentagones, spirales et choix de construction
Dans un pentagone régulier, le rapport d’une diagonale à un côté est φ. La proportion apparaît ici à cause de relations géométriques précises, liées à la symétrie à cinq côtés. C’est une occurrence exacte. Elle est différente d’une mesure approximative réalisée sur une photographie, où le choix des points et la perspective peuvent modifier le résultat.
On dessine souvent des quarts de cercle dans des carrés successifs pour évoquer une spirale. Ce tracé circulaire par morceaux n’est pas exactement une spirale logarithmique unique. Certaines spirales naturelles peuvent être étudiées avec des modèles logarithmiques, mais « spirale » ne signifie pas automatiquement « nombre d’or ». Une ressemblance visuelle ne suffit pas à établir une égalité.
Une histoire ancienne, des interprétations à vérifier
Euclide décrit déjà dans les Éléments la division d’un segment en « extrême et moyenne raison ». Le vocabulaire du nombre d’or est bien plus tardif. Cette histoire distingue une propriété géométrique ancienne des récits modernes qui la présentent comme une règle universelle de l’art et du vivant.
Pour attribuer volontairement φ à une œuvre ou à un bâtiment, une mesure choisie après coup est insuffisante. Il faudrait des intentions documentées, des points de mesure justifiés et une tolérance explicite. Avec beaucoup de dimensions disponibles, on peut obtenir par hasard plusieurs rapports proches d’un nombre célèbre. L’intérêt authentique de φ est ailleurs : comprendre comment une simple condition de proportion relie équations, figures et suites.
Découvrir les sources · 2 références
Pour vérifier les notions et poursuivre la lecture. Certaines ressources sont en anglais.