Voici une suite qui se construit comme un petit jeu : chaque nouveau nombre est la somme des deux qui le précèdent.
Deux mots pour commencer
- Suite
- Une liste de nombres rangés dans un ordre.
- Terme
- Un nombre de cette liste.
UN EXEMPLE, PAS À PAS
On le fait ensemble.
On choisit le départ
Pour la suite de Fibonacci, on commence ici par 0 puis 1.
0 ; 1On additionne les deux derniers
0 + 1 donne 1. Puis 1 + 1 donne 2. Puis 1 + 2 donne 3.
0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3On garde la même règle
Les deux derniers nombres sont 2 et 3 : le suivant est 5. Puis 3 + 5 donne 8.
2 + 3 = 5 ; 3 + 5 = 8
À QUOI ÇA SERT, CONCRÈTEMENT ?
Monter un escalier, un ou deux pas à la fois
Vous pouvez monter une marche ou deux à chaque mouvement. Pour atteindre la quatrième marche, le dernier mouvement vient forcément de la troisième (un pas) ou de la deuxième (deux pas). Les possibilités s’additionnent : c’est la même mécanique que Fibonacci.
Avec une marche, il y a 1 façon ; avec deux, 2 façons ; puis 3, 5 et 8 façons pour trois, quatre et cinq marches. Les nombres dépendent du point de départ choisi, mais la règle reste la même. Cette lecture montre pourquoi une suite peut servir à compter des chemins, pas seulement à dessiner une spirale.
Vous avez l’idée ?
Après 13 et 21, quel est le prochain nombre ?
Voir la réponse expliquée
13 + 21 = 34. Pour continuer : 21 + 34 = 55.
Pour aller un peu plus loin
On pose F₀ = 0 et F₁ = 1. Chaque terme suivant est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Une règle très courte
Deux nombres suffisent pour construire le suivant. Cette définition par récurrence explique comment avancer dans la suite, mais demande de conserver les étapes précédentes.
Le raccourci de Binet
La formule Fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5 donne directement le terme de rang n, avec φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2. Des nombres irrationnels se combinent ici pour produire un entier exact.
F₈ = 21, car F₇ + F₆ = 13 + 8. La formule de Binet donne le même résultat.
SOURCES & LECTURES POUR APPROFONDIR
Wolfram MathWorld · approfondir (en anglais)