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Quand une calculatrice refuse une division par zéro, elle ne cache pas une réponse trop grande. Elle rencontre une opération qui n’a pas de résultat dans les règles usuelles des nombres réels. Pour voir pourquoi, il suffit de revenir au sens de la division, puis de distinguer une valeur exacte d’un comportement observé à proximité.
Les étapes de cette explication
La division est une multiplication à l’envers
Calculer 18 ÷ 3, c’est chercher un nombre x tel que 3 × x = 18. La réponse est 6. Dans une situation de partage, 18 objets distribués entre trois personnes donnent six objets par personne. Dans une situation de mesure, 18 litres remplissent six récipients de trois litres. Les histoires diffèrent, mais la multiplication de contrôle est la même.
Pour deux nombres réels a et b, avec b différent de zéro, a/b est l’unique nombre x qui vérifie bx = a. Le mot « unique » compte : une opération doit donner une réponse déterminée. Nous allons voir que zéro fait échouer cette recherche de deux manières différentes selon le nombre que l’on veut diviser.
Pourquoi 6/0 ne peut pas être un nombre réel
Si 6/0 valait un nombre x, on devrait avoir 0 × x = 6. Or multiplier un nombre réel par zéro donne toujours zéro. Aucun candidat ne convient, même un nombre gigantesque. Un milliard multiplié par zéro donne zéro, tout comme un million de milliards.
Cette propriété vient des règles de la multiplication. Puisque 0 = 0 + 0, on a x × 0 = x × (0 + 0) = x × 0 + x × 0. En retirant x × 0 des deux côtés, il reste x × 0 = 0. Modifier cette règle pour sauver 6/0 obligerait à changer l’ensemble du système de calcul ; on ne peut pas ajouter une exception sans examiner ses conséquences.
Pourquoi 0/0 est un autre problème
Pour 0/0, l’équation devient 0 × x = 0. Cette fois, tous les nombres conviennent : 0, 1, 7 ou −12. Il n’y a donc pas une absence de candidat, mais une absence de réponse unique. Choisir arbitrairement 1 ne serait pas justifié davantage que choisir 2.
Il faut distinguer cela de 0/5 = 0, qui ne pose aucun problème : le seul nombre vérifiant 5 × x = 0 est bien zéro. La place du zéro dans une fraction change entièrement la situation. Un numérateur nul est permis lorsque le dénominateur est non nul ; un dénominateur nul bloque la division usuelle, quel que soit le numérateur.
Près de zéro, le résultat peut grandir sans borne
Regardons 1/x pour des valeurs positives de x : à x = 0,1, le résultat est 10 ; à 0,01, il est 100 ; à 0,001, il est 1 000. Pour dépasser n’importe quel seuil positif M, il suffit de choisir 0 < x < 1/M. Cette propriété décrit une limite infinie lorsque x s’approche de zéro par valeurs positives.
Mais du côté négatif, 1/(−0,1) vaut −10, puis −100 et −1 000 lorsque le dénominateur se rapproche de zéro. Les deux côtés ne conduisent donc même pas à la même direction. Le symbole +∞ décrit ici une croissance sans borne ; ce n’est pas un nombre réel que l’on pourrait multiplier par zéro pour obtenir 1.
Une forme 0/0 ne donne pas la limite
Prenons x/x, défini pour x ≠ 0. Son résultat vaut toujours 1 ; sa limite lorsque x approche zéro est donc 1. Pour x²/x, également défini hors zéro, le résultat vaut x : la limite est zéro. Pour 3x/x, elle vaut 3. Dans les trois cas, remplacer directement x par zéro produirait l’écriture interdite 0/0.
On appelle cette situation une forme indéterminée : elle ne suffit pas à connaître la limite. Il faut examiner les expressions et leurs vitesses de variation. Simplifier x/x en 1 est permis seulement pour x non nul. On peut ensuite définir une nouvelle fonction qui vaut aussi 1 en zéro, mais cela prolonge la fonction ; cela ne calcule pas rétroactivement 0/0.
Le piège qui fait prétendument prouver que 1 = 2
Supposons a = b = 1. On peut écrire a² = ab, puis a² − b² = ab − b². Factoriser donne (a − b)(a + b) = b(a − b). Si l’on simplifie imprudemment par a − b, on obtient a + b = b, donc 2 = 1. Toutes les lignes précédentes semblaient correctes.
L’erreur se trouve exactement dans la simplification : a − b vaut zéro. On a supprimé un facteur nul, ce qui revient à diviser par zéro. L’égalité 0 × 2 = 0 × 1 est vraie, mais elle ne permet pas de conclure que 2 = 1. Une simplification doit toujours être accompagnée de sa condition de validité.
Une règle utile bien au-delà de l’école
Un taux de réussite est un nombre de succès divisé par un nombre d’essais. Si aucun essai n’a eu lieu, 0/0 ne signifie pas 0 % de réussite : le taux n’est pas encore calculable. De même, un prix par unité exige une quantité non nulle. Afficher « non défini » peut être plus informatif qu’inventer une valeur.
Les mathématiques ont développé différentes extensions et conventions pour des contextes spécialisés ; elles précisent alors les règles qui changent. Pour l’arithmétique réelle utilisée ici, le repère reste simple : vérifier le dénominateur avant de diviser. Cette attention évite autant les fausses démonstrations que les indicateurs statistiques trompeurs et certaines erreurs dans les programmes.
Découvrir les sources · 2 références
Pour vérifier les notions et poursuivre la lecture. Certaines ressources sont en anglais.