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Une alarme signale un défaut. Vous connaissez sa capacité à repérer les pièces abîmées, mais pouvez-vous en déduire la probabilité que cette pièce précise soit abîmée ? Pas directement. Il faut compter aussi les fausses alertes et la fréquence initiale des défauts. Le théorème de Bayes organise ce raisonnement, qui devient plus clair avec des objets qu’avec une formule isolée.
Les étapes de cette explication
Deux questions qui se ressemblent
« Parmi les pièces défectueuses, combien déclenchent une alarme ? » et « parmi les alarmes, combien correspondent à des pièces défectueuses ? » ne sélectionnent pas le même groupe. La première question commence par les défauts ; la seconde commence par les signaux. Inverser les mots change donc la population sur laquelle on compte.
Imaginez un sac contenant surtout des billes blanches et quelques billes rouges. Une machine repère assez bien le rouge, mais confond parfois une bille blanche avec une rouge. Si les blanches sont extrêmement nombreuses, même une petite proportion d’erreurs peut produire beaucoup de faux signaux. Le nombre de cas disponibles au départ compte autant que la qualité de détection.
Construire un exemple entièrement visible
Notre atelier fictif produit 1 000 pièces. Dix présentent un défaut : la fréquence initiale est 10/1 000 = 1 %. Le détecteur repère neuf de ces dix défauts, soit 90 %. Sur les 990 pièces correctes, il déclenche toutefois une alarme dans 10 % des cas, soit 99 fausses alertes.
Il y a donc 9 + 99 = 108 alarmes. Si l’on prend au hasard une pièce parmi celles qui ont déclenché l’alarme, neuf cas sur 108 seulement correspondent à un défaut. La probabilité recherchée est 9/108 = 1/12, environ 8,33 %. Aucun paradoxe : nous avons simplement changé de groupe de référence.
Le signal est utile malgré tout
Avant l’alarme, la probabilité de défaut était de 1 %. Après l’alarme, elle atteint environ 8,33 %. L’information a donc fortement augmenté la suspicion, sans donner une certitude. Dire « la plupart des alarmes sont fausses » ne signifie pas « l’alarme ne sert à rien » : elle concentre les défauts dans un groupe beaucoup plus petit à examiner.
Si l’on vérifiait d’abord les 108 pièces signalées, on trouverait neuf des dix défauts. La décision pratique dépend ensuite du coût de cette vérification, du coût d’un défaut oublié et des possibilités de contrôle complémentaire. Le calcul d’une probabilité éclaire une décision ; il ne remplace pas les objectifs et contraintes de l’atelier.
Traduire le comptage en formule
Notons D l’événement « défaut » et A l’événement « alarme ». P(D) désigne la probabilité de défaut avant le signal. P(A|D), lu « probabilité de A sachant D », mesure la probabilité d’alarme parmi les pièces défectueuses. P(D|A) est la question inverse qui nous intéresse. La barre verticale signifie « en se limitant aux cas où… ».
La probabilité d’avoir à la fois un défaut et une alarme vaut P(A|D)P(D). Pour obtenir la proportion de défauts parmi les alarmes, on divise cette quantité par P(A), la probabilité totale d’alarme. Cette formule suppose P(A) > 0 : conditionner sur une catégorie impossible demanderait de diviser par zéro.
Changer le contexte sans changer le détecteur
Gardons la même machine mais examinons un lot contenant 100 pièces défectueuses sur 1 000. Elle signale 90 défauts et 90 pièces correctes. Parmi les 180 alarmes, la moitié sont maintenant justifiées. Le taux de détection et le taux de fausse alerte sont restés identiques ; seule la composition initiale du lot a changé.
C’est pourquoi un pourcentage de « fiabilité » annoncé sans préciser ce qu’il mesure est insuffisant. Le taux de détection, la proportion de fausses alertes et la proportion d’alarmes justifiées ont des dénominateurs différents. Pour comparer deux systèmes, on doit connaître leurs conditions d’utilisation et la fréquence des événements recherchés, pas seulement un chiffre flatteur.
Accumuler des indices sans les compter deux fois
Après une première observation, la probabilité mise à jour peut servir de point de départ pour une observation suivante. Mais il faut tenir compte des dépendances. Deux alarmes causées par le même capteur mal réglé ne représentent pas forcément deux confirmations indépendantes. Copier une information dans deux rapports ne lui apporte pas une deuxième preuve.
Dans notre exemple, la probabilité d’alarme est neuf fois plus grande avec défaut que sans défaut : 0,9/0,1 = 9. Ce rapport de vraisemblance multiplie le rapport initial « défaut contre absence de défaut », qui vaut 1 contre 99. Après le signal, il devient 9 contre 99, soit une probabilité de 9/(9 + 99). Cette autre écriture montre précisément ce qu’un signal apporte.
D’où vient l’idée, et comment l’utiliser honnêtement
Le théorème porte le nom de Thomas Bayes, au XVIIIe siècle ; les méthodes d’inférence probabiliste ont ensuite été développées notamment par Laplace. Leur principe général consiste à rendre explicite le passage d’informations initiales à une estimation révisée. Aujourd’hui, on le rencontre dans la classification de documents, l’analyse de mesures et la détection de défauts.
Les résultats restent tributaires des données et des hypothèses. Une fréquence initiale mal estimée ou un détecteur évalué sur un lot très différent peut donner une probabilité trompeuse. On gagne donc à écrire les effectifs, préciser la population et présenter plusieurs hypothèses plausibles. Bayes ne transforme pas une supposition en vérité : il rend sa place visible dans le raisonnement.
Découvrir les sources · 3 références
Pour vérifier les notions et poursuivre la lecture. Certaines ressources sont en anglais.